Question

（本小題滿分13分）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，若（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓的方程為． （2）的最大值為11．

【解析】(1) 由題設(shè)知，，，由，得,從而得到關(guān)于a的方程，求出a值.

(2)設(shè)圓的圓心為，則 

            ,

從而把的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值,再利用兩點(diǎn)間的距離公式再借助P在橢圓上，可以把轉(zhuǎn)化為關(guān)于P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)問題來解決.

（1）由題設(shè)知，，，………………………1分

由，得．………………3分

解得．所以橢圓的方程為．…………………4分

（2）方法1：設(shè)圓的圓心為，

則 ……………………6分

            ……K…………………………7分

．………………………………………8分

從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值．………………………9分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916322208205071/SYS201211191633388163231372_DA.files/image017.png">是橢圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)，……………………………10分

所以，即．…………………………11分

因?yàn)辄c(diǎn)，所以．……………12分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916322208205071/SYS201211191633388163231372_DA.files/image023.png">，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值12．……………13分

所以的最大值為11．……………………………14分

 

方法2：設(shè)點(diǎn)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916322208205071/SYS201211191633388163231372_DA.files/image026.png">的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以 …………………………6分

所以……………………7分

          

          

           ．……………………………9分

因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即．…………10分

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即．………………11分

所以．……………………………12分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916322208205071/SYS201211191633388163231372_DA.files/image041.png">，所以當(dāng)時(shí)，．…………………14分

方法3：①若直線的斜率存在，設(shè)的方程為，……………6分

由，解得．………………………7分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916322208205071/SYS201211191633388163231372_DA.files/image017.png">是橢圓上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，

所以，即．…………………8分

所以 ………9分

所以．

                              ………10分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916322208205071/SYS201211191633388163231372_DA.files/image023.png">，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值11．……………11分

②若直線的斜率不存在，此時(shí)的方程為，

由，解得或．

不妨設(shè)，，．……………………5u…………………12分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916322208205071/SYS201211191633388163231372_DA.files/image017.png">是橢圓上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，

所以，即．

所以，．

所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916322208205071/SYS201211191633388163231372_DA.files/image023.png">，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值11．………13分

綜上可知，的最大值為11．…………………………………14分