已知定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,使得|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.
下面我們來考慮兩個函數(shù):f(x)=4-x+p•2-x+1,g(x)=
1-q•2x
1+q•2x

(Ⅰ)當p=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(Ⅱ)若q∈(
1
2
,
2
2
]
,函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是H(q),求H(q)的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)p的取值范圍.
考點:函數(shù)的最值及其幾何意義
專題:新定義
分析:(Ⅰ)根據(jù)有界函數(shù)的定義進行判斷即可;
(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)有界性的定義,求函數(shù)的最值即可求H(q)的取值范圍;
(Ⅲ)根據(jù)函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),建立條件關系即可求實數(shù)p的取值范圍.
解答: 解:(1)當p=1時,f(x)=4-x+2-x+1
∵f(x)在(-∞,0)上遞減,
∴f(x)>f(0)=3,
即f(x)在(-∞,1)的值域為(3,+∞).
故不存在常數(shù)M>0,使|f(x)|≤M成立,
∴函數(shù)f(x)在(-∞,1)上不是有界函數(shù).
(2)g(x)=
2
1+q•2x
-1
,
∵q>0,x∈[0,1],
∴g(x)在[0,1]上遞減,
∴g(1)≤g(x)≤g(0),
1-2q
1+2q
≤g(x)≤
1-q
1+q

q∈(
1
2
2
2
]
,
1-q
1+q
≥-
1-2q
1+2q

|g(x)|≤
1-q
1+q
,
H(q)≥
1-q
1+q
,
即 [
1-q
1+q
,+∞)

(3)由題意知,|f(x)|≤3在[1,+∞)上恒成立.-3≤f(x)≤3,
-4•2x-(
1
2
)x≤p≤2•2x-(
1
2
)x
在[0,+∞)上恒成立
[-4•2x-(
1
2
)x]max≤p≤[2•2x-(
1
2
)x]min

設2x=t,h(t)=-4t-
1
t
,p(t)=2t-
1
t
,
由x∈[0,+∞)得 t≥1,
設1≤t1<t2h(t1)-h(t2)=
(t2-t1)(4t1t2-1)
t1t2
>0
,
∴h(t)在[1,+∞)上遞減,h(t)在[1,+∞)上的最大值為h(1)=-5,
p(t1)-p(t2)=
(t1-t2)(2t1t2+1)
t1t2
<0
,
∴p(t)在[1,+∞)上遞增,p(t)在[1,+∞)上的最小值為p(1)=1.
∴實數(shù)p的取值范圍為[-5,1].
點評:本題主要考查函數(shù)有界性的應用,利用函數(shù)有界性的定義是解決本題的關鍵,考查學生的計算能力.
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AM
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15
5
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2
2
C、
10
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1
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A、1
B、
1
2
C、2
D、
1
3

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