Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圖過橢圓C的右頂點．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）由已知橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1，可得：a+c=3，a-c=1，從而可求橢圓的標準方程；
（2）直線與橢圓方程聯(lián)立，利用以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D（2，0），結(jié)合根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解，即可求得結(jié)論．

解答：（1）解：由題意設(shè)橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1，
可得：a+c=3，a-c=1，
∴a=2，c=1
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，消去y可得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
則

△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)=3+4k2-m2＞0 x1+x2=- 8mk 3+4k2 x1x2= 4(m2-3) 3+4k2

又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

3(m2-4k2)

3+4k2

因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D（2，0），∴k_ADk_BD=-1，即

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-1
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，∴

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+k2

+

16mk

3+4k2

+4=0
∴7m²+16mk+4k²=0
解得：m1=-2k，m2=-

2k

7

，且均滿足3+4k²-m²＞0
當m₁=-2k時，l的方程y=k（x-2），直線過點（2，0），與已知矛盾；
當m2=-

2k

7

時，l的方程為y=k(x-

2

7

)，直線過定點(

2

7

，0)
所以，直線l過定點，定點坐標為(

2

7

，0)

點評：本題考查橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，綜合性強，屬于中檔題．