Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁＞0，q＞-1且q≠0的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n=a_n+1-ka_n+2（n∈N），數(shù)列{a_n}、{b_n}的前n項(xiàng)和分別為S_n，T_n．如果T_n＞kS_n對(duì)一切自然數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：由探尋T_n和S_n的關(guān)系入手謀求解題思路．首先利用數(shù)列}{b_n}與數(shù)列{a_n}的關(guān)系確定出數(shù)列}{b_n}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，即用數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和表示出數(shù)列}{b_n}的前n項(xiàng)和，通過(guò)不等式有關(guān)方法確定出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：因?yàn)閧a_n}是首項(xiàng)a₁＞0，公比q＞-1且q≠0的等比數(shù)列，故
a_n+1=a_n•q，a_n+2=a_n•q²．
所以b_n=a_n+1-ka_n+2=a_n（q-k•q²）．
T_n=b₁+b₂+…+b_n=（a₁+a₂+…+a_n）（q-k•q²）=S_n（q-kq²）．
依題意，由T_n＞kS_n，得S_n（q-kq²）＞kS_n，①對(duì)一切自然數(shù)n都成立．
當(dāng)q＞0時(shí)，由a₁＞0，知a_n＞0，所以S_n＞0；
當(dāng)-1＜q＜0時(shí)，因?yàn)閍₁＞0，1-q＞0，1-qⁿ＞0，所以Sn=

a1(1-qn)

1-q

＞0
綜合上面兩種情況，當(dāng)q＞-1且q≠0時(shí)，S_n＞0總成立．
由①式可得q-kq²＞k②，即k＜

q

1+q2

，
因?yàn)?1＜q＜0，所以-

1

2

≤

q

1+q2

＜0，所以k＜-

1

2

；
故實(shí)數(shù)k的取值范圍k＜-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和意識(shí)．解決本題的關(guān)鍵要建立兩個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和的聯(lián)系，通過(guò)不等式的分析確定出S_n的正負(fù)，簡(jiǎn)化不等式，得出關(guān)于實(shí)數(shù)k的不等式，考查分離變量思想確定字母取值范圍的方法．