已知動點P與雙曲線x2-
y2
3
=1
.的兩焦點F1,F(xiàn)2的距離之和為大于4的定值,且|
PF1
|•|
PF2
|的最大值為9.
(1)求動點P的軌跡E的方程;
(2)若A,B是曲線E上相異兩點,點M(0,2)滿足
AM
MB
,求實數(shù)λ的取值范圍.
(1)雙曲線x2-
y2
3
=1
的焦點F1(-2,0).
設已知定值為2a,則|
PF
1
|+|
PF2
|=2a
,因此,動點P的軌跡E是以F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)為焦點,長軸長為2a的橢圓.
設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
.(2分)
|
PF 1
|•|
PF 2
|≤(
|
PF 1
|+
PF 2
2
) 2
=a2,
∴a2=9,b2=a2-c2=5,
∴動點P的軌跡E的方程
x2
9
+
y2
5
=1
;
(II)設A(x1,y1),B(x2,y2),則由點M(0,2)滿足
AM
MB
,得:
-x 1=λx   2 
-2-y 1=λ(y 2+2)
  且M,A,B三點共線,設直線為l,
當直線l的斜率存在時,設l:y=kx-2,則將直線的方程代入橢圓的方程,化簡得:
(5+9k2)x2-36kx-9=0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得:
  x1+x2=
36k
5+9k  2
,x1x2=
-9
5+9k 2
,
將x1=-λx2,代入,消去x2,得:
(1-λ) 2
λ
=
144k 2
5+9k 2
,
化得:
(1-λ) 2
λ
=
144k 2
5+9k 2
=
144
5
k 2
+9

0<
(1-λ) 2
λ
< 16

解之得:實數(shù)λ的取值范圍為[9-4
5
,9+4
5
].
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知動點P的軌跡方程為:
x2
4
-
y2
5
=1(x>2),O是坐標原點.
①若直線x-my-3=0截動點P的軌跡所得弦長為5,求實數(shù)m的值;
②設過P的軌跡上的點P的直線與該雙曲線的兩漸近線分別交于點P1、P2,且點P分有向線段
P1P2
所成的比為λ(λ>0),當λ∈[
3
4
,
3
2
]時,求|
OP1
|•|
OP2
|的最值.

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科目:高中數(shù)學 來源:學習周報 數(shù)學 人教課標高二版(A選修1-1) 2009-2010學年 第18期 總第174期 人教課標版(A選修1-1) 題型:044

已知雙曲線C以y=0為漸近線,且過點A(3,2).

(1)求雙曲線C的標準方程;

(2)已知動點P與雙曲線C的兩個焦點所連線段長的和為6,求動點P的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學 來源:學習周報 數(shù)學 人教課標版高二(A選修2-1) 2009-2010學年 第18期 總第174期 人教課標版(A選修2-1) 題型:044

已知雙曲線C以y=0為漸近線,且過點A(3,2).

(1)求雙曲線C的標準方程;

(2)已知動點P與雙曲線C的兩個焦點所連線段長的和為6,求動點P的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設P(a,b)(b≠0)是平面直角坐標系xOy中的點,l是經(jīng)過原點與點(1,b)的直線,記Q是直線l與拋物線x2=2pyp≠0)的異于原點的交點

⑴.已知a=1,b=2,p=2,求點Q的坐標。

⑵.已知點P(a,b)(ab≠0)在橢圓+y2=1上,p=,求證:點Q落在雙曲線4x2-4y2=1上。

⑶.已知動點P(a,b)滿足ab≠0,p=,若點Q始終落在一條關(guān)于x軸對稱的拋物線上,試問動點P的軌跡落在哪種二次曲線上,并說明理由。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(上海卷理20)設P(a,b)(b≠0)是平面直角坐標系xOy中的點,l是經(jīng)過原點與點(1,b)的直線,記Q是直線l與拋物線x2=2pyp≠0)的異于原點的交點

⑴已知a=1,b=2,p=2,求點Q的坐標.

⑵已知點P(a,b)(ab≠0)在橢圓+y2=1上,p=,求證:點Q落在雙曲線4x2-4y2=1上.

⑶已知動點P(a,b)滿足ab≠0,p=,若點Q始終落在一條關(guān)于x軸對稱的拋物線上,試問動點P的軌跡落在哪種二次曲線上,并說明理由.

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