Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，以原點O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線L：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點，且k_OA•k_OB=-

b2

a2

．求證：△AOB的面積為定值．在橢圓上是否存在一點P，使OAPB為平行四邊形，若存在，求出|OP|的取值范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意得，b=

|0-0+ 6 |

2

=

3

，

c

a

=

1

2

，又a²+b²=c²，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A，B的坐標滿足

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，從而（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式，結合已知條件能證明：△AOB的面積為定值；若存在平行四邊形OAPB使P在橢圓上，則

OP

=

OA

+

OB

，設P（x₀，y₀），則x₀=x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，y₀=y₁+y₂=

6m

3+4k2

，由已知條件推導出不存在P在橢圓上的平行四邊形．

解答： （本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：由題意得，b=

|0-0+ 6 |

2

=

3

，

c

a

=

1

2

，又a²+b²=c²，
聯(lián)立解得a²=4，b²=3，
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（3分）
（Ⅱ）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A，B的坐標滿足

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，
消去y化簡得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴x1+x2=-

8km

3+4k2

，x₁x₂=

4m2-12

3+4k2

，
△＞0，得4k²-m²+3＞0，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2•

4m2-12

3+4k2

+km(-

8km

3+4k2

)+m2
=

3m2-12k2

3+4k2

．
∵k_OA•k_OB=-

3

4

，

y1y2

x1x2

=-

3

4

，即y1y2=-

3

4

x1x2，
∴

3m2-12k2

3+4k2

=-

3

4

•

4m2-12

3+4k2

，即2m²-4k²=3，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)• 48(4k2-m2+3) (3+4k2)2

=

48(1+k2) (3+4k2)2 • 3+4k2 2

=

48(1+k2) (3+4k2)2 • 3+4k2 2

=

24(1+k2) 3+4k2

．
O到直線y=kx+m的距離d=

|m|

1+k2

，
∴S_△AOB=

1

2

d|AB|=

1

2

•

|m|

1+k2

•

24(1+k2) 3+4k2

=

1

2

m2 1+k2 • 24(1+k2) 3+4k2

=

1

2

3+4k2 2 • 24 3+4k2

=

3

為定值．…（8分）
若存在平行四邊形OAPB使P在橢圓上，則

OP

=

OA

+

OB

，
設P（x₀，y₀），則x₀=x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，y₀=y₁+y₂=

6m

3+4k2

，
由于P在橢圓上，所以

x02

4

+

y02

3

=1，
從而化簡得

16k2m2

(3+4k2)2

+

12m2

(3+4k2)2

=1，
化簡得4m²=3+4k²，（1）
由k_OA•k_OB=-

3

4

，知2m²-4k²=3，（2）
解（1）（2）知無解，故不存在P在橢圓上的平行四邊形．…（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，考查三角形的面積為定值的證明，考查滿足條件的平行四邊形是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式的合理運用．