Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，AB=BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

．
（1）求四棱錐A₁-BB₁C₁C的體積；
（2）求證：C₁B⊥平面ABC．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用錐體的體積公式，即可求解；
（2）證明C₁B⊥平面ABC，根據(jù)本題條件，需要證明BC₁AB⊥，由AB⊥側(cè)面BB₁C₁C就可以解決；而要證明C₁B⊥BC，則需要通過(guò)解三角形來(lái)證明．

解答： （1）解：∵AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，且AB∥A₁B₁，∴四棱錐的高h(yuǎn)=AB=1 …（2分）
又S_底面=2•

1

2

CB•CC1•sin∠C1CB=

3

…（4分）
∴四棱錐的體積為

1

3

•

3

•1=

3

3

…（6分）
（2）證明：在△BCC₁中，
∵BC=1，CC₁=2，∠BCC₁=

π

3

，
∴BC₁=

1+4-2•1•2• 1 2

=

3

，
∴∠CBC₁=90°，∴BC⊥BC₁，
∵AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，BC₁?面BB₁C₁C，
∴BC₁⊥AB，
∵AB∩BC=B，∴BC₁⊥平面ABC．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直、線線垂直，考查錐體體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．