Question

如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD．PA=3，AD=2，AB=2

3

，BC=6．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-BD-A的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）由PA⊥平面ABCD，知BD⊥PA．由tan∠ABD=

AD

AB

=

3

3

，tan∠BAC=

BC

AB

=

3

，知∠ABD=30°，∠BAC=60°．由此能夠證明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）連接PE，由BD⊥平面PAC，知BD⊥PE，BD⊥AE．所以∠AEP為二面角P-BD-A的平面角，由此能夠求出二面角P-BD-A的大�。�

解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD．
∴BD⊥PA．…（2分）
∵tan∠ABD=

AD

AB

=

3

3

，tan∠BAC=

BC

AB

=

3

，
∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．
∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．…（6分）
（Ⅱ）連接PE，
∵BD⊥平面PAC，∴BD⊥PE，BD⊥AE．
∴∠AEP為二面角P-BD-A的平面角．…（8分）
在Rt△AEB中，AE=ABsin∠ABD=

3

，
∴tan∠AEP=

AP

AE

=

3

，
∴∠AEP=60°，
∴二面角P-BD-A的大小為60°．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．