Question

設(shè)，．

（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；

（2）討論與的大小關(guān)系；

（3）求的取值范圍，使得對任意＞0成立．

 

Answer 1

（1）是的單調(diào)減區(qū)間，是的單調(diào)遞增區(qū)間，的最小值為；（2）當(dāng)，，，當(dāng)時(shí)，，；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件易知，求導(dǎo)，從而可知是的單調(diào)減區(qū)間，是的單調(diào)遞增區(qū)間，的最小值為；（2）構(gòu)造函數(shù)，則，從而在遞減，而，從而當(dāng)，，，當(dāng)時(shí)，，；（3）根據(jù)題意可知恒成立等價(jià)于，由（1）可知，即解不等式，從而解得．

試題解析：（1）∵，，∴，∴，令，得，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，故是的單調(diào)減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，故是的單調(diào)遞增區(qū)間，∴是的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，∴的最小值為；

（2），設(shè)，，在遞減，

當(dāng)，，即，當(dāng)，，，當(dāng)時(shí)，，；

（3）由（1）知的最小值為，∴，對任意成立等價(jià)于，

即，從而得．

考點(diǎn)：1．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性證明不等式；2．恒成立問題．