定義在(0,+∞)上函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(y)=f(xy),且當(dāng)x>1時,f(x)<0,若不等式f(
x2+y2
)≤f(
xy
)+f(a)
對任意x,y∈(0,+∞)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是
 
分析:先根據(jù)條件證明函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)性,然后化簡不等式,根據(jù)
x2+y2
2xy
恒成立建立關(guān)系式即可.
解答:解:設(shè)x1>x2>0,則
x1
x2
>1
∵f(x)+f(y)=f(xy),
∴f(x)-f(y)=f(
x
y
),
f(x1)-f(x2)=f(
x1
x2
)<0(x>1時,f(x)<0)
∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減函數(shù)
f(
x2+y2
)≤f(
xy
)+f(a)

∴f(
x2+y2
)≤f(a
xy

x2+y2
≥a
xy

x2+y2
2xy
≥a
xy

∴a
2

故答案為:0<a
2
點評:本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的應(yīng)用,屬于中檔題,單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)是定義在(0,1)上的函數(shù),且滿足:①對任意x∈(0,1),恒有f(x)>0;②對任意x1,x2∈(0,1),恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2
,則下面關(guān)于函數(shù)f(x)判斷正確的是( �。�

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