Question

定義在（0，+∞）上函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（y）=f（xy），且當(dāng)x＞1時，f（x）＜0，若不等式f(

x2+y2

)≤f(

xy

)+f(a)對任意x，y∈（0，+∞）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)條件證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)性，然后化簡不等式，根據(jù)

x2+y2

≥

2xy

恒成立建立關(guān)系式即可．

解答：解：設(shè)x₁＞x₂＞0，則

x1

x2

＞1
∵f（x）+f（y）=f（xy），
∴f（x）-f（y）=f（

x

y

），
f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＜0（x＞1時，f（x）＜0）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減函數(shù)
∵f(

x2+y2

)≤f(

xy

)+f(a)
∴f（

x2+y2

）≤f（a

xy

）
即

x2+y2

≥a

xy

x2+y2

≥

2xy

≥a

xy

∴a≤

2

故答案為：0＜a≤

2

點評：本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的應(yīng)用，屬于中檔題，單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)．