Question

使函數(shù)f(x)=sin(2x+θ)+

3

cos(2x+θ)是奇函數(shù)，且在[0，

π

4

]上是減函數(shù)的θ的一個值是（　　）

• A、

  π

  3

• B、

  2π

  3

• C、

  4π

  3

• D、

  5π

  3

Answer 1

分析：利用兩角和正弦公式化簡函數(shù)的解析式為 2sin（2x+θ+

π

3

），由于它是奇函數(shù)，故θ+

π

3

=kπ，k∈z，當(dāng)k為奇數(shù)時，
f（x）=-2sin2x，滿足在[0，

π

4

]上是減函數(shù)，此時，θ=2nπ-

2π

3

，n∈z，當(dāng)k為偶數(shù)時，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足條件．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=sin(2x+θ)+

3

cos(2x+θ)=2sin（2x+θ+

π

3

） 是奇函數(shù)，故θ+

π

3

=kπ，k∈z，θ=kπ-

π

3

．
當(dāng)k為奇數(shù)時，令k=2n-1，f（x）=-2sin2x，滿足在[0，

π

4

]上是減函數(shù)，此時，θ=2nπ-

4π

3

，n∈z，
選項(xiàng)B滿足條件．
當(dāng)k為偶數(shù)時，令k=2n，f（x）=2sin2x，不滿足在[0，

π

4

]上是減函數(shù)．
綜上，只有選項(xiàng)B滿足條件．
故選 B．

點(diǎn)評：本題考查兩角和正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，化簡函數(shù)的解析式是解題的突破口．