己知函數(shù)f(x)=x(1－x2)，x∈R.

(1)   當(dāng)x>0時(shí)，求f(x)的最大值；

(2)   當(dāng)x>0時(shí)，指出f(x)的單調(diào)性，并用定義證明；

(3)   試作出函數(shù)f(x)(x∈R)的簡(jiǎn)圖.

答案：
解析：

（1）∵x>0,欲求f(x)最大值，必有1－x2>0,

y2=x2(1－x2)2=·2x2(1－x2)

≤·[]3= ，

∴y≤=.

當(dāng)且僅當(dāng)2x2=1－x2即x=時(shí)，取“=”，即f(x)|mAx=f()=.

(2)由（1）知，當(dāng)x∈（0,）時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，x∈時(shí)，f(x)單調(diào)遞減.設(shè)x2>x1>0,則

 f(x2)－f(x1)=－x23+x2－（－x13+x1）

 =( x2－ x1)－( x2－ x1)(x22+x1x2+x12)

 =（x2－ x1）[1－（x22+x1x2+x12）].

當(dāng)0< x1 <x2≤時(shí)，x2－ x1>0,

1－( x22+x1x2+x12 )>0.

∴f(x2)>f(x1).∴f(x)在）上遞增.當(dāng)≤x1<x2時(shí)，x2－x1>0,1－( x22+x1x2+x12)<0.

∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在上遞減.

(3)注：圖象過點(diǎn)（－1,0），（0,0），（1,0），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

評(píng)述：第（1）題也可用導(dǎo)數(shù)解決.∵f＇(x)=1－3x2,令f＇(x)=0,∴x=±,又x>0,∴x=.

通過檢驗(yàn)單調(diào)性知，當(dāng)x=時(shí)，f(x)取得最大值，其最大值為，以下解法同上.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知函數(shù)f(x)=4sin2(
π
4
+x)-2
3
cos2x-1，且給定條件P：x＜
π
4
或x＞
π
2
，
（1）求￢P的條件下，求f（x）的最值；
（2）若條件q：-2＜f（x）-m＜2，且￢p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•綿陽(yáng)一模）己知函數(shù)f（x）=
a
x
-1（其中a是不為0的實(shí)數(shù)），g（x）=lnx，設(shè)F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)F（x）在（0，3]上的單調(diào)性；
（Ⅱ）已知s，t為正實(shí)數(shù)，求證：ttex≥stet（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=f（
2a
x2+1
）+2m的圖象與函數(shù)y=g（x2+1）的圖象恰好有四個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•武清區(qū)一模）己知函數(shù)f(x)=-lnx-
ax
，a∈R．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年福建省四校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

己知函數(shù)f（x）=sin x-cos x．
（1）若cosx=-，x∈[，π]，求函數(shù)f （x）的值；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m個(gè)單位，使平移后的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若0＜m＜π，試求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：3年高考2年模擬：4.2 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及三角恒等變換（5）（解析版） 題型：解答題

己知函數(shù)f（x）=sin x-cos x．
（1）若cosx=-，x∈[，π]，求函數(shù)f （x）的值；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m個(gè)單位，使平移后的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若0＜m＜π，試求m的值．

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