Question

如圖，四邊形ABCD為長方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．
（Ⅰ）證明：平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）若二面角Q-BP-C的大小等于，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：設(shè)DA=1，AB=t，建立如圖空間坐標(biāo)系D-xyz，則Q（1，1，0），C（0，0，t），P（0，2，0）
∴
∴
∴PQ⊥DQ，PQ⊥DC
∵DC∩DQ=D，∴PQ⊥平面DCQ
∴平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）解：，
設(shè)是平面PBC的法向量，則，即，取
設(shè)是平面PBQ的法向量，則，即，取
∴|cos|===，∴t=2
∴二面角Q-BP-C的大小等于時(shí)，=2．
分析：（Ⅰ）建立空間坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，證明即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）求出平面PBC的法向量，平面PBQ的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查面面垂直，考查面面角，考查利用向量知識解決立體幾何問題，關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，屬于中檔題．