Question

設(shè)函數(shù)，其中.

（Ⅰ）若函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）求函數(shù)的極值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域是.      ……………… 1分

對求導(dǎo)數(shù)，得.  ………… 3分

由題意，得，且，

解得.                       ………………………… 5分

（Ⅱ）解：由，得方程，

一元二次方程存在兩解，，………… 6分

當時，即當時，

隨著x的變化，與的變化情況如下表：   

	↘	極小值	↗

 即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)在存在極小值；   …………… 8分

當時，即當時，

隨著x的變化，與的變化情況如下表：   

	↗	極大值	↘	極小值	↗

即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以函數(shù)在存在極小值，在存在極大值；            ………………………… 10分

 當時，即當時，

 因為（當且僅當時等號成立），

所以在上為增函數(shù)，故不存在極值；     ……………12分

 當時，即當時，

隨著x的變化，與的變化情況如下表：   

		極大值		極小值

即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以函數(shù)在存在極大值，在存在極小值；

綜上，當時，函數(shù)存在極小值，不存在極大值；

 當時，函數(shù)存在極小值，存在極大值 ；

 當時，函數(shù)不存在極值；

當時，函數(shù)存在極大值，存在極小值.

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運用，以及運用到導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值的綜合運用

（1）先分析定義域，然后求解導(dǎo)數(shù)得到再給定點的導(dǎo)數(shù)值，進而確定切線方程 。

（2）需要對參數(shù)a進行分類討論，判定單調(diào)性，進而得到不同情況下的極值問題。