Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

ex

，a≠0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，已知x₁＜x₂，且f（x₁）=f（x₂），求證：f（x₁）＞f（2-x₂）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′(x)=

aex-axex

(ex)2

=

a(1-x)

ex

，令f′（x）=0，得x=1，再分a＞0時(shí)與a＜0時(shí)，討論f′（x）＞0或f′（x）＜0，進(jìn)一步可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）畫(huà)函數(shù)f（x）的圖象，找出x₁＜1，x₂＞1，要證f（x₁）＞f（2-x₂）只要證明x₂＞1時(shí)f（x₂）-f（2-x₂）＞0即可，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-f（2-x），即g（x）=

x

ex

-

2-x

e2-x

，只要證明對(duì)于?x＞1，g（x）＞0恒成立即可．

解答： 解：（1）f′(x)=

aex-axex

(ex)2

=

a(1-x)

ex

，令f′（x）=0，得x=1，
當(dāng)a＞0時(shí)，如果x∈（1，+∞），那么f′（x）＜0，因此（1，+∞）為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；如果x∈（-∞，1），那么f′（x）＞0，因此（-∞，1）為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
當(dāng)a＜0時(shí)，如果x∈（1，+∞），那么f′（x）＞0，因此（1，+∞）為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；如果x∈（-∞，1），那么f′（x）＜0，因此（-∞，1）為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

x

ex

，由（1）知，（1，+∞）為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（-∞，1）為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
又f（0）=0，f（1）=

1

e

，函數(shù)f（x）的圖象：

∵x₁＜x₂，且f（x₁）=f（x₂），∴從圖象上看，x₁＜1，x₂＞1，
f（x₁）＞f（2-x₂）?f（x₂）＞f（2-x₂），∴要證f（x₁）＞f（2-x₂）只要證明x₂＞1時(shí)f（x₂）-f（2-x₂）＞0即可：
構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-f（2-x），即g（x）=

x

ex

-

2-x

e2-x

，下面證明：對(duì)于?x＞1，g（x）＞0恒成立，
則g′（x）=

1-x

ex

-

1-x

e2-x

=

(1-x)(1-e2(x-1))

ex

，
如果x∈（1，+∞），那么x-1＞0，e^2（x-1）＞1，則（1-x）（1-e^2（x-1））＞0，因此g′（x）＞0，因此g（x）在（1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)；
∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
在x∈[1，+∞）時(shí)：當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取最小值，即g最小值=g(1)=

1

e

-

2-1

e2-1

=0，∴對(duì)于?x∈（1，+∞），g（x）＞0恒成立，
∴x₂＞1時(shí)f（x₂）-f（2-x₂）＞0，∴f（x₂）＞f（2-x₂），
又∵f（x₁）=f（x₂），
∴f（x₁）＞f（2-x₂）．

點(diǎn)評(píng)：本題重在考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，對(duì)于較復(fù)雜的問(wèn)題可以構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)的單調(diào)性，從而使問(wèn)題得以解決，屬于高檔題．