Question

如圖12-5，直線l₁和l₂相交于點(diǎn)M，l₁⊥l₂，點(diǎn)N∈l₁以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)N的距離相等.若△AMN為銳角三角形，｜AM｜=，｜AN｜=3,且｜BN｜=6建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求

 

曲線段C的方程.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

         

                                                                                                                                                         

Answer 1

解法一：如圖12-24建立坐標(biāo)系，以l₁為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)依題意知：曲線段C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以l₂為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A、B分別為C的端點(diǎn)設(shè)曲線段C的方程為

y²=2px(p＞0),(x_A≤x≤x_B,y＞0)

 

其中x_A、x_B分別為A、B的橫坐標(biāo)，p＝｜MN｜．

 

所以M（－，0），N（，0）

 

由｜AM｜＝，｜AN｜＝3得

（xA＋）²＋2px_A＝17        ①

（xA－）²＋2px_A＝9         ②

 

由①②兩式聯(lián)立解得x_A＝，再將其代入①式并由p>0

解得或

因?yàn)椤鰽MN是銳角三角形，所以＞x_A，

故舍去

 

所以p＝4，x_A＝1．

由點(diǎn)B在曲線段C上，得x_B＝｜BN｜－＝4．

綜上得曲線段C的方程為y²＝8x（1≤x≤4，y＞0）．

 

解法二：如圖建立坐標(biāo)系，分別以l₁、l₂為x、y軸，M為坐標(biāo)原點(diǎn)作AE⊥l₁，AD⊥l₂，BF⊥l₂，垂足分別為

 

E、D、F.設(shè)A（x_A，y_A）、B（x_B，y_B）、N（x_N，0）依題意有x_A＝｜ME｜＝｜DA｜＝｜AN｜＝3，

 

y_A＝｜DM｜＝.由于△AMN為銳角三角形，故有x_N＝｜ME｜＋｜EN｜

 

＝｜ME｜＋＝4

 

x_B＝｜BF｜＝｜BN｜＝6．

 

設(shè)點(diǎn)P(x,y)是曲線段C上任一點(diǎn)，則由題意知P屬于集合｛(x,y)|(x－x_N)²+y²=x²,x_A≤x≤x_B，y＞0｝

 

故曲線段C的方程為y²＝8（x－2）（3≤x≤6，y＞0）．