f(x)是定義在R上的函數(shù)，對x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當x>0時，f(x)<0，f(－1)＝2.

(1)求證：f(x)為奇函數(shù)；

(2)求證：f(x)是R上的減函數(shù)；

(3)求f(x)在[－2,4]上的最值．

 [解析]　(1)f(x)的定義域為R，

令x＝y＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)，

∴f(0)＝0，

令y＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

∴f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)是奇函數(shù)．

(2)設(shè)x2>x1，

f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)

∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0，

∴f(x2)－f(x1)<0，

即f(x2)<f(x1)，

∴f(x)在R上為減函數(shù)．

(3)∵f(－1)＝2，

∴f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝4，

∵f(x)為奇函數(shù)，

∴f(2)＝－f(－2)＝－4，

∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－8，

∵f(x)在[－2,4]上為減函數(shù)，

∴f(x)max＝f(－2)＝4，

f(x)min＝f(4)＝－8.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列命題：

①若函數(shù)y=(-1≤x≤a)的反函數(shù)是它本身，則a=0；

②當a＞1時，函數(shù)f(x)=ax+loga(x十1)在[0，1]上的最大值與最小值之和不可能為a；

③設(shè)f(x)是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，若不等式f(x)＜0的解集為(1，2)，則不等式f(x—1)＜0的解集為(2，3).

填出你認為正確的所有命題序號_____________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(－∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)。 求a的取值范圍，并在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x=1對稱，對任意x1、x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.

(1)求f()、f();

(2)證明f(x)是周期函數(shù)；

(3)記an=f(2n+),求 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分12分）已知f(x)是定義在 R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=，求f(x)的解析式。

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年湖南省岳陽市高三第三次月考理科數(shù)學 題型：選擇題

設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)且f(x+3)=-,又當-3≤x≤-2時，f(x)=2x,則f(113.5)的值是（    ）

A.                   B. -                 C.                  D. -

 

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