Question

如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB，PD的中點．
（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）若二面角P-CD-B為45°，AD=2，CD=3，求四面體FPCE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：計算題,證明題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取PC中點M，連ME，MF，證得四邊形AFME是平行四邊形，進而得到AF∥EM，再由線面平行的判定定理，即可得證；
（2）由線面垂直的性質和判定，得到∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，在面PCD內過F作FH⊥PC于H，則PH⊥平面PCE，則FH為點F到面PCE的距離．求出FH的長，再由四面體FPCE的體積V_F-PEC=

1

3

FH•S_△PEC代入數據，即可得到所求的值．

解答： （1）證明：取PC中點M，連ME，MF，
∵FM∥CD，FM=

1

2

CD，AE∥CD，AE=

1

2

CD，
∴AE∥FM，且AE=FM，
即四邊形AFME是平行四邊形，
∴AF∥EM，
∵AF?平面PCE，EM?平面PCE，
∴AF∥平面PCE；
（2）解：∵PA⊥平面AC，CD⊥AD，∴CD⊥PD
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，∴∠PDA=45°
∴△PAD是等腰直角三角形，而EM∥AF．
又∵AF⊥CD∴AF⊥面PCD，
而EM∥AF∴EM⊥面PCD
又EM?面PEC，∴面PEC⊥面PCD
在面PCD內過F作FH⊥PC于H，則PH⊥平面PCE，
則FH為點F到面PCE的距離．
由已知PD=2

2

，PF=

1

2

PD=

2

，PC=

17

∵△PFH∽△PCD，
∴

FH

PF

=

CD

PC

，∴FH=

2 ×3

17

=

3 34

17

，
∴四面體FPCE的體積V_F-PEC=

1

3

FH•S_△PEC=

1

3

×

3 34

17

×

1

2

×

17

×

2

=1．

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理，考查直線與平面垂直的判定定理和性質定理，考查空間二面角的求法，以及棱錐的體積的求法，考查運算能力，屬于中檔題．