Question

已知函數(shù)，設(shè)曲線在與軸交點(diǎn)處的切線為，為的導(dǎo)函數(shù)，滿足．

（1）求；

（2）設(shè)，，求函數(shù)在上的最大值；

（3）設(shè)，若對(duì)一切，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

解：（1），        

，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則．

         直線與軸的交點(diǎn)為，，且，

即，且，

解得，．                     

則．                

（2），

    

其圖像如圖所示．

當(dāng)時(shí)，，根據(jù)圖像得：

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，最大值為；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，最大值為；

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，最大值為．  

（3）方法一：，

，，

當(dāng)時(shí)，，

不等式恒成立等價(jià)于且恒成立，

由恒成立，得恒成立，

當(dāng)時(shí)，，，

        ，                           

        又當(dāng)時(shí)，由恒成立，得，

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．            

方法二：（數(shù)形結(jié)合法）作出函數(shù)的圖像，其圖像為線段（如圖），

的圖像過(guò)點(diǎn)時(shí)，或，

要使不等式對(duì)恒成立，

必須，   

又當(dāng)函數(shù)有意義時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，由恒成立，得，

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．             

方法三：， 的定義域是，

要使恒有意義，必須恒成立，

        ，，即或． ………………①    

        由得，

即對(duì)恒成立，

令，的對(duì)稱軸為，

則有或或

解得．  ………………②

綜合①、②，實(shí)數(shù)的取值范圍是．