Question

一次研究性課堂上，老師給出函數(shù)，三位同學(xué)在研究此函數(shù)時(shí)給出以下命題：
①函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，1]；　　
②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③對(duì)任意的x₁，x₂∈R，存在x₀，使得f（x₁）+f（x₂）=2f（x₀）成立；
④若規(guī)定對(duì)任意n∈N^*恒成立．
你認(rèn)為上述命題中正確的是________．（請(qǐng)將正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

②③
分析：利用奇函數(shù)的定義判斷出f（x）為奇函數(shù)，通過(guò)對(duì)x的分段討論去掉絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，討論x≥0的值域、單調(diào)性判斷，由此可得結(jié)論．
解答：①∵f（-x）=-f（x），∴f（x）為奇函數(shù)
∵
當(dāng)
∵f（x）為奇函數(shù)，∴當(dāng)x＜0是，f（x）∈（-1，0）
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閒（x）∈（-1，1），故①不正確；
②當(dāng)為增函數(shù)，
∵f（x）為奇函數(shù)，∴當(dāng)x＜0是，f（x）∈（-1，0）為增函數(shù)，∴f（x在（-1，1）上為增函數(shù)
故②正確；
③對(duì)任意的x₁，x₂∈R，當(dāng)x₁=x₂時(shí)，存在x₀=x₁，使得f（x₁）+f（x₂）=2f（x₀）成立；
當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，不妨設(shè)x₁＜x₂，
∵f（x在（-1，1）上為增函數(shù)，f（x₁）+f（x₂）＜2f（x₂），∴f（x₀）＜f（x₂），
∵f（x在（-1，1）上為增函數(shù)，∴x₀＜x₂，∴存在x₀，使得f（x₁）+f（x₂）=2f（x₀）成立，故③正確；
④f_n（x）=f（f₁（x））=f（f（x）==不恒成立，故④不正確；
綜上知，命題中正確的是：②③
故答案為：②③
點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，要注意結(jié)合函數(shù)值域求法及單調(diào)性判斷方法加以判斷，綜合性強(qiáng)．