Question

已知函數(shù)f（x）=2a²lnx-x²（常數(shù)a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e²）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，可得切線方程；
（2）f（x）在（0，a]上是增函數(shù)，在[a，+∞）上是減函數(shù)，可得f（x）_max=f（a）=a²（2lna-1），分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e²）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2lnx-x²，
∴f′（x）=

2

x

-2x．∴f′（1）=0．…（3分）
又∵f（1）=-1，
∴曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y+1=0．…（4分）
（3）∵f（x）=2a²lnx-x²，∴f′（x）=

-2(x-a)(x+a)

x

．
∵x＞0，a＞0，∴當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞a時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，a]上是增函數(shù)，在[a，+∞）上是減函數(shù)．…（7分）
∴f（x）_max=f（a）=a²（2lna-1），…（8分）
討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)情況如下．
①a²（2lna-1）＜0，即0＜a＜

e

時(shí)，函數(shù)f（x）無零點(diǎn)，在（1，e²）上也無零點(diǎn)；…（9分）
②當(dāng)a²（2lna-1）=0，即a=

e

時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有唯一零點(diǎn)a，而1＜a＜e²，∴f（x）在（1，e²）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；…（10分）
③當(dāng)a²（2lna-1）＞0，即a＞

e

時(shí)，
由于f（1）=-1＜0，f（a）=a²（2lna-1）＞0．f（e²）=（2a-e²）（2a+e²），
當(dāng)2a-e²＜0時(shí)，即

e

＜a＜

e2

2

時(shí)，1＜

e

＜a＜

e2

2

＜e²，f（e²）＜0，由單調(diào)性可知，函數(shù)f（x）在（1，a）內(nèi)有唯一零點(diǎn)x₁、在（a，e²）內(nèi)有唯一零點(diǎn)x₂滿足，∴f（x）在（1，e²）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；         …（11分）
當(dāng)2a-e²≥0時(shí)，即a≥

e2

2

＞

e

時(shí)，f（e²）≥0，而且f(

e

)=a2-e＞0，f（1）=-1＜0，由單調(diào)性可知，無論a≥e²還是a＜e²，f（x）在（1，

e

）內(nèi)有唯一的一個(gè)零點(diǎn)，在[

e

，e²）內(nèi)沒有零點(diǎn)，從而f（x）在（1，e²）內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)；…（14分）
綜上所述，有：當(dāng)0＜a＜

e

時(shí)，函數(shù)f（x）無零點(diǎn)；當(dāng)a=

e

或a≥

e2

2

時(shí)，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)

e

＜a＜

e2

2

時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．