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分別求下列函數的值域:
(1)y=數學公式
(2)y=-x2+2x(x∈[0,3]);
(3)y=x+數學公式
(4)y=數學公式

解:(1)用分離變量法將原函數變形為:y==2+
∵x≠3,∴≠0.
∴y≠2,即函數值域為{y|y∈R且y≠2}.
(2)用配方法將原函數變形為:y=-(x-1)2+1,根據二次函數的性質,
在區(qū)間[0,3]上,當x=1時,函數取最大值1,當x=3時,函數取最小值是-3,
則原函數的值域是[-3,1].
(3)由1-x2≥0,得-1≤x≤1,設x=cosθ(θ∈[0,π]),
則y=sinθ+cosθ=sin(θ+),
由正弦函數曲線易知,當θ=時,y取最大值為,當θ=π時,y取最小值為-1,
∴原函數的值域是[-1,].
(4)分離常數法將原函數變形為:
y=
∵1+2x>1,∴0<<2,
∴-1<-1+<1,
∴所求值域為(-1,1)
分析:(1)用分離變量法將原函數變形,再根據分母不為零,求函數的值域;
(2)用配方法將原函數變形,再根據開口方向和對稱軸的大小,求出在區(qū)間上的最值,在表示出值域;
(3)先求函數定義域[-1,1],故設x=cosθ(θ∈[0,π]),代入原函數利用兩角的和差公式進行化簡,再利用正弦函數的曲線求出最值,即求出值域;
(4)用分離變量法將原函數變形,利用2x>0求原函數的值域.
點評:本題考查了求函數值域的方法,即分離常數法,配方法和換元法等,注意每種方法適用的類型.
練習冊系列答案
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分別求下列函數的值域:
(1)y=
2x+1
x-3
;
(2)y=-x2+2x(x∈[0,3]);
(3)y=x+
1-x2
;
(4)y=
1-2x
1+2x

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