Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1

x+1

．
（1）確定f（x）在區(qū)間[3，5]上的單調(diào)性并利用定義證明；
（2）求f（x）在區(qū)間[3，5]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f(x)=

2x-1

x+1

=2-

3

x+1

(x≠-1)，易判斷其單調(diào)性，利用定義即可證明；
（2）由單調(diào)性可得函數(shù)最值；

解答： 解：（1）f(x)=

2x-1

x+1

=2-

3

x+1

(x≠-1)，f（x）在[3，5]上是單調(diào)增函數(shù)．
證明：?x₁，x₂∈[3，5]，
令△x=x₂-x₁＞0，△y=f(x2)-f(x1)=2-

3

x2+1

-(2-

3

x1+1

)=

3

x1+1

-

3

x2+1

=

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

＞0，
∴f（x）在[3，5]上是單調(diào)增函數(shù)；
（2）由（1）知f（x）在[3，5]上單調(diào)遞增，
∴fmin(x)=f(3)=

5

4

，fmax(x)=f(5)=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，考查函數(shù)的最值，屬基礎(chǔ)題．