Question

已知函數f（x）=ax³+bx²，當x=1時，f（x）有極大值1．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數f（x）在區(qū)間[-

1

2

，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的極值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導，由題意可知

f(1)=a+b=1 f′(1)=3a+2b=0

，從而求a，b的值；
（Ⅱ）代入a，b的值，求極值處的極值及端點值，從而求函數f（x）在區(qū)間[-

1

2

，2]上的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²，∴f′（x）=3ax²+2bx，
由題意可知

f(1)=a+b=1 f′(1)=3a+2b=0

，
解得a=-2，b=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=-2x³+3x²，∴f′（x）=-6ax²+6x=-6x（x-1），
令f′（x）=-6ax²+6x=-6x（x-1）=0可解得，
x=0或x=1；
∵f（-

1

2

）=1，
f（0）=0，
f（1）=1，
f（2）=-4；
故函數f（x）在區(qū)間[-

1

2

，2]上的最大值是1，最小值為-4．

點評：本題考查了導數的綜合應用及閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．