Question

定義兩個(gè)實(shí)數(shù)間的一種新運(yùn)算“*”：x*y＝ln(e^x＋e^y)，x，y∈R.當(dāng)x*x＝y時(shí)，x＝.對任意實(shí)數(shù)a，b，c，給出如下命題：

①a*b＝b*a；

②(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)；

③(a*b)－c＝(a－c)*(b－c)；

④(a*b)*c＝a*(b*c)；

⑤

其中正確的命題有________．(寫出所有正確的命題序號)

Answer 1

①②③④⑤

解析　因?yàn)?i>a*b＝ln(e^a＋e^b)，b*a＝ln(e^b＋e^a)，

所以a*b＝b*a，即①對；

因?yàn)?a*b)＋c＝ln(e^a＋e^b)＋c＝ln[(e^a＋e^b)e^c]

＝ln(e^a＋c＋e^b＋c)＝(a＋c)*(b＋c)，所以②對；

只需令②中的c為－c，即有結(jié)論(a*b)－c＝(a－c)*(b－c)，所以③對；

因?yàn)?a*b)*c＝[ln(e^a＋e^b)]*c＝ln[＋e^c]

＝ln(e^a＋e^b＋e^c)，

a*(b*c)＝a*[ln(e^b＋e^c)]＝ln[e^a＋]

＝ln(e^a＋e^b＋e^c)，

所以(a*b)*c＝a*(b*c)，即④對；

設(shè)＝x，則x*x＝a*b，

所以ln(e^x＋e^x)＝ln(e^a＋e^b)，

所以2×e^x＝e^a＋e^b，

故正確的命題是①②③④⑤.