Question

已知橢圓:的離心率為,過右焦點且斜率為的直線交橢圓于兩點,為弦的中點,為坐標原點.
(1)求直線的斜率；
(2)求證:對于橢圓上的任意一點,都存在,使得成立.

Answer 1

(1)
(2) 顯然與可作為平面向量的一組基底,由平面向量基本定理,對于這一平面內的向量,有且只有一對實數,使得等式成立.,那么設出點M的坐標，結合向量的坐標關系來證明。

試題分析：解:(1)設橢圓的焦距為,因為,所以有,故有.
從而橢圓的方程可化為: 
①  知右焦點的坐標為(),據題意有所在的直線方程為:. ②由①,②有:.                                        
③設,弦的中點,由③及韋達定理有:
 
所以,即為所求.                       5分
(2)顯然與可作為平面向量的一組基底,由平面向量基本定理,對于這一平面內的向量,有且只有一對實數,使得等式成立.設,由(1)中各點的坐標有:
,故.   7分
又因為點在橢圓上,所以有整理可得:
.       ④
由③有:.所以
   ⑤又點在橢圓上,故有 .      
⑥將⑤,⑥代入④可得:.                 11分
所以,對于橢圓上的每一個點,總存在一對實數,使等式成立,且.
所以存在,使得.也就是:對于橢圓上任意一點 ,總存在,使得等式成立.         13分
點評：解決的關鍵是根據橢圓的性質以及直線與橢圓的位置關系的運用，屬于中檔題。