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已知a，b是不等正數，且a3-b3=a2-b2，求證：1＜a+b＜
4
3
．
考點：不等式的證明
專題：不等式
分析：根據已知條件容易得到a2+ab+b2=a+b，因為是求a+b的范圍，所以由上式得到（a+b）2=a+b+ab，所以ab=（a+b）2-（a+b），根據基本不等式及已知a，b＞0，a≠b，可知：0＜ab＜
(a+b)2
4
，所以得到0＜(a+b)2-(a+b)＜
(a+b)2
4
，解關于a+b的不等式即可得到1＜a+b＜
4
3
．
解答： 證明：根據已知條件有：（a-b）（a2+ab+b2）=（a-b）（a+b）  ①；
∵a≠b；
∴①式兩邊同除以a-b得：a2+ab+b2=a+b；
∴（a+b）2=a+b+ab；
∴ab=（a+b）2-（a+b）；
∵0＜ab＜
(a+b)2
4
；
∴0＜(a+b)2-(a+b)＜
(a+b)2
4
；
∴
(a+b)2＞a+b
3
4
(a+b)2＜a+b
，解得：
1＜a+b＜
4
3
．
點評：考查立方差公式，平方差公式，完全平方式，以及基本不等式：a+b＞2
ab
，a＞0，b＞0，a≠b．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）=x2-2x+2，若函數f（x+m）是偶函數，那么m的值是（　�。�
A、1B、-1C、2D、-2

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科目：高中數學 來源： 題型：

設i是虛數單位，集合M={1，i}，N={
(1-i)2
2
，-
1
i
}，則M∪N=（　　）
A、MB、N
C、{1，i，-i}D、{1，i，-1}

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
log2(4+x)，-4＜x≤0
f(x-1)+1，x＞0
，則f（4）=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經過點D（2，0），E（1，
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2
）兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C交于不同兩點A，B，點G是線段AB的中點，點O為坐標原點，設射線OG交橢圓C于點Q，且
OQ
=λ
OG
．
①證明：λ2m2=4k2+1；
②求△AOB的面積S（λ）的解析式，并計算S（λ）的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知遞增等比數列{an}滿足a2+a3=6和a5=a32，則a4=（　�。�
A、1B、8
C、-27D、8或-27

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知不等式kx2-x+4k＜0（k≠0）．
（1）若不等式的解集為{x|x＜-4或x＞-1}，求實數k的值；
（2）若不等式的解集為∅，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列an-an-1=2n-1，且a1=1．
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜想出an并用數學歸納法證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知x，y的取值如下表所示：
x234
y546
如果x，y呈線性相關，且線性回歸方程為
y
=
1
2
x+a，則當x=7時，預測y的值為
 
．

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