Question

如果函數(shù)y=|x|-1的圖象與方程x²+λy²=1的曲線恰好有兩個不同的公共點，則實數(shù)λ的取值范圍是

1. A.
   （-∞，-1]∪[0，1）
2. B.
   [-1，1）
3. C.
   {-1，0}
4. D.
   [-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

B
分析：利用絕對值的幾何意義，由y=|x|-1可得，x≥0時，y=x-1；x＜0時，y=-x-1，確定函數(shù)y=|x|-1的圖象與方程x²+λy²=1的曲線必相交于（±1，0），為了使函數(shù)y=|x|-1的圖象與方程x²+λy²=1的曲線恰好有兩個不同的公共點，則兩曲線無其它交點．y=x-1代入方程x²+λy²=1，整理可得（1+λ）x²-2λx+λ-1=0，分類討論，可得結(jié)論，根據(jù)對稱性，同理可得x＜0時的情形．
解答：由y=|x|-1可得，x≥0時，y=x-1；x＜0時，y=-x-1，
∴函數(shù)y=|x|-1的圖象與方程x²+λy²=1的曲線必相交于（±1，0）
所以為了使函數(shù)y=|x|-1的圖象與方程x²+λy²=1的曲線恰好有兩個不同的公共點，則
y=x-1代入方程x²+λy²=1，整理可得（1+λ）x²-2λx+λ-1=0
當λ=-1時，x=1滿足題意，
由于△＞0，1是方程的根，∴0，即-1＜λ＜1時，方程兩根異號，滿足題意；
y=-x-1代入方程x²+λy²=1，整理可得（1+λ）x²+2λx+λ-1=0
當λ=-1時，x=-1滿足題意，
由于△＞0，-1是方程的根，∴0，即-1＜λ＜1時，方程兩根異號，滿足題意；
綜上知，實數(shù)λ的取值范圍是[-1，1）
故選B．
點評：本題考查曲線的交點，考查學生分析解決問題的能力，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．