Question

（本小題滿(mǎn)分13分）

已知菱形ABCD中，AB=4， （如圖1所示），將菱形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)翻折，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置（如圖2所示），點(diǎn)E，F，M分別是AB，DC₁，BC₁的中點(diǎn)．

  

（1）證明：BD //平面；

（2）證明：

（3）當(dāng)時(shí)，求線(xiàn)段AC₁ 的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

證明：（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析；（Ⅲ）．

【解析】本事主要是考查了空間幾何體中線(xiàn)面的平行的證明以及線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明，以及利用線(xiàn)段的垂直關(guān)系求解線(xiàn)段的長(zhǎng)度。

（1）先證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，然后利用線(xiàn)面平行的判定定理得到，BD //平面；

（2）運(yùn)用在菱形中，設(shè)為的交點(diǎn),則來(lái)證明：

（3）當(dāng)時(shí)，可證明平面．，然后借助于溝谷定理得到線(xiàn)段AC₁ 的長(zhǎng)．

證明：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)分別是的中點(diǎn)，

             所以．                 ………………………………………2分

             又平面，平面,

       所以平面．           ………………………………………4分

        （Ⅱ）在菱形中，設(shè)為的交點(diǎn),

　　　　　　 則．                   ………………………………………5分

　　所以 在三棱錐中，.

　　　　　　又 　

所以 平面．……………………7分

　　　　　　又 平面，所以 ．………………8分

 

　　　（Ⅲ）連結(jié)．在菱形中，，

　　　　　　所以 是等邊三角形.     所以 ．          ……10分

　　　　　　因?yàn)?為中點(diǎn)，所以 ．

            又 ，．

            所以 平面，即平面．

………………………………………12分

            又 平面，所以 ．

因?yàn)?，， 所以 ．…13分