【題目】在直角坐標系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立坐標系.已知曲線C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),過點P(﹣2,﹣4)的直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),直線l與曲線C分別交于M、N兩點.
(1)寫出曲線C和直線l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求a的值.
【答案】
(1)解:曲線C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),
轉化成直角坐標方程為:y2=2ax
線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),
轉化成直角坐標方程為:x﹣y﹣2=0
(2)解:將直線的參數(shù)方程 (t為參數(shù)),代入y2=2ax得到:
,
所以: ,t1t2=32+8a,①
則:|PM|=t1,|PN|=t2,|MN|=|t1﹣t2|
|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,
所以: ,②
由①②得:a=1
【解析】(1)直接利用關系式把極坐標方程轉化成直角坐標方程.(2)利用參數(shù)方程和拋物線方程建立成關于t的一元二次方程組,利用根和系數(shù)的關系求出兩根和與兩根積,進一步利用等比數(shù)列進一步求出a的值.
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【題目】如圖,正方體的棱長為1,線段上有兩個動點,且;則下列結論錯誤的是( )
A. B. 平面
C. 三棱錐的體積為定值 D. 的面積與的面積相等
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ax2﹣lnx﹣2.
(1)當a=1時,求曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調性.
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【題目】某學校為了加強學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng),鍛煉學生自主探究學習的能力,他們以函數(shù)為基本素材,研究該函數(shù)的相關性質,取得部分研究成果如下:
①同學甲發(fā)現(xiàn):函數(shù)的定義域為;
②同學乙發(fā)現(xiàn):函數(shù)是偶函數(shù);
③同學丙發(fā)現(xiàn):對于任意的都有;
④同學丁發(fā)現(xiàn):對于任意的,都有;
⑤同學戊發(fā)現(xiàn):對于函數(shù)定義域中任意的兩個不同實數(shù),總滿足.
其中所有正確研究成果的序號是__________.
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【題目】設f(x)是定義在R上的可導函數(shù),且滿足f′(x)>f(x),對任意的正數(shù)a,下面不等式恒成立的是( )
A.f(a)<eaf(0)
B.f(a)>eaf(0)
C.
D.
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【題目】某電子商務公司對10 000名網(wǎng)絡購物者2017年度的消費情況進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)消費金額(單位:萬元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內,其頻率分布直方圖如圖所示.
(1)直方圖中的a=_____;
(2)在這些購物者中,消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內的購物者的人數(shù)為_______.
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【題目】對于函數(shù)f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0 , 則稱x0是f(x)的一個不動點.
(1)若函數(shù)f(x)=2x+ ﹣5,求此函數(shù)的不動點;
(2)若二次函數(shù)f(x)=ax2﹣x+3在x∈(1,+∞)上有兩個不同的不動點,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】求函數(shù)y=的值的程序框圖如圖所示.
(1)指出程序框圖中的錯誤,并寫出算法;
(2)重新繪制解決該問題的程序框圖,并回答下面提出的問題.
①要使輸出的值為正數(shù),輸入的x的值應滿足什么條件?
②要使輸出的值為8,輸入的x值應是多少?
③要使輸出的y值最小,輸入的x值應是多少?
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣5|﹣|x﹣2|.
(1)若x∈R,使得f(x)≤m成立,求m的范圍;
(2)求不等式x2﹣8x+15+f(x)≤0的解集.
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