Question

已知拋物線y=-x²+3上存在關(guān)于直線x+y=0對稱的相異兩點(diǎn)A、B，則|AB|=

 

．

Answer 1

分析：設(shè)AB的方程為y=x+b，代入拋物線y=-x²+3化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=-1，x₁•x₂=b-3，根據(jù)AB的中點(diǎn)（-

1

2

，-

1

2

+b） 在直線x+y=0上，求出b值，由|AB|=

1+1

•

(x1+ x2)2-4x1• x2

求得結(jié)果．

解答：解：由題意可得，可設(shè)AB的方程為 y=x+b，
代入拋物線y=-x²+3化簡可得 x² +x+b-3=0，
∴x₁+x₂=-1，x₁•x₂=b-3，
故AB 的中點(diǎn)為（-

1

2

，-

1

2

+b）．根據(jù)中點(diǎn)在直線x+y=0上，
∴-

1

2

+（-

1

2

+b）=0，∴b=1，故 x₁•x₂=-2，
∴|AB|=

1+1

•

(x1+ x2)2-4x1• x2

=3

2

，
故答案為3

2

．

點(diǎn)評：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，弦長公式的應(yīng)用，求得 x₁+x₂=-1，x₁•x₂=-2，是解題的關(guān)鍵．