已知橢圓具有性質(zhì)：若M，N是橢圓上關于原點O對稱的兩點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值，試寫出雙曲線具有類似特性的性質(zhì)并加以證明．
【答案】分析：設出M和N的坐標，代入雙曲線的方程，設點P的坐標，進而表示出PM，PN的斜率，求得兩斜率之積．把點P的坐標代入雙曲線方程表示出y和n，代入PM，PN斜率之積得表達式求得結(jié)果為常數(shù)，故可推斷出kPM•kPN與點P的位置無關的定值．
解答：解：可以通過橫向類比得：若M，N是上述雙曲線上關于原點O對稱的兩點，
點P是雙曲線上任意一點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，
那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值．
下面給出嚴格的證明：
設點M（m，n），則N（-m，-n），其中，又設點P的坐標
為P（x，y），則，，
注意到，點P（x，y）在雙曲線上，
故，
代入可得：（常數(shù)），
即kPM•kPN與點P的位置無關的定值
點評：本題主要考查了橢圓的應用，考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•南寧二模）設F1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點．
（Ⅰ）若橢圓C上的點A（1，
3
2
）到F1、F2兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）設點P是（Ⅰ）中所得橢圓上的動點，Q（0，
1
2
），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P在橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時，那么KPM與KPN之積是與點P位置無關的定值．設對雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質(zhì)（不必給出證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓具有性質(zhì)：若A是橢圓C的一條與x軸不垂直的弦的中點，那么該弦的斜率等于點A的橫、縱坐標的比值與某一常數(shù)的積．試對雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓具有性質(zhì)：若A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0且a，b為常數(shù)）上關于原點對稱的兩點，點P是橢圓上的任意一點，若直線PA和PB的斜率都存在，并分別記為kPA，kPB，那么kPA與kPB之積是與點P位置無關的定值-
b2
a2
．試對雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0且a，b為常數(shù)）寫出類似的性質(zhì)，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，P是橢圓上任意一點，則當直線PM，PN的斜率都存在時，其乘積恒為定值．類比橢圓，寫出雙曲線C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的類似性質(zhì)，并加以證明．

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