Question

已知函數f（x）=

|log3x|，0＜x＜3 1 3 x2- 10 3 x+8，x≥3

，關于x的方程f（x）=t有如下結論：
①任意實數t∈（-

1

3

，0），該方程都只有兩根且兩根之和為10；
②t=1是該方程有三個根的充分條件；
③該方程不可能只有一根；
④若該方程有四個根，則該四個根之和的范圍是（12，

40

3

）．
其中正確結論的序號是

 

（填出所有正確結論的序號）．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：數形結合,函數的性質及應用

分析：先配方求出函數的最小值，畫出y=f（x）的圖象和直線y=t，通過圖象觀察：直線的平移，與f（x）的交點的個數的變化，即可判斷．

解答： 解：∵

1

3

x²-

10

3

x+8=

1

3

（x-5）²-

1

3

，
∴x=5時，取得最小值，且為-

1

3

．
畫出y=f（x）的圖象和直線y=t，
由圖象觀察得到：
①當t∈（-

1

3

，0），方程f（x）=t都只有兩根且兩根之和為10，故①對；
②t=1時，該方程有三個根，故t=1是該方程有三個根的充分條件，故②對；
③t=-

1

3

時，該方程只有一個根，故③錯；
④若該方程有四個根，由小到大設為x₁，x₂，x₃，x₄，則1+1+10＜x₁+x₂+x₃+x₄＜

1

3

+3+10，
即該四個根之和的范圍是（12，

40

3

），故④對．
故答案為：①②④．

點評：本題考查分段函數的圖象及應用，考查函數的最值和運用，同時考查數形結合的能力，屬于中檔題．