Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax-1，a≠0
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在x=-1處取得極值，直線y=m與y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先確求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間是增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間是減區(qū)間．
（2）先根據(jù)極值點(diǎn)求出a，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出極值以及端點(diǎn)的函數(shù)值，觀察可知m的范圍．

解答：解析：（1）f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
當(dāng)a＜0時(shí)，對(duì)x∈R，有f′（x）＞0，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0解得x＜-

a

或x＞

a

；
由f′（x）＜0解得-

a

＜x＜

a

，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-

a

)，(

a

，+∞)；
f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-

a

，

a

)．
（2）因?yàn)閒（x）在x=-1處取得極大值，
所以f′（-1）=3×（-1）²-3a=0，∴a=1．
所以f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0解得x₁=-1，x₂=1．
由（1）中f（x）的單調(diào)性可知，f（x）在x=-1處取得極大值f（-1）=1，
在x=1處取得極小值f（1）=-3．
因?yàn)橹本€y=m與函數(shù)y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
結(jié)合f（x）的單調(diào)性可知，m的取值范圍是（-3，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及求最值和利用導(dǎo)數(shù)研究圖象等問題，屬于中檔題．