Question

某公司今年年初用25萬(wàn)元引進(jìn)一種新的設(shè)備，投入設(shè)備后每年收益為21萬(wàn)元．該公司第n年需要付出設(shè)備的維修和工人工資等費(fèi)用a_n的信息如圖．
（1）求a_n；
（2）這種設(shè)備使用多少年，該公司的年平均獲利最大？

Answer 1

分析：（1）由已知中公司第n年需要付出設(shè)備的維修和工人工資等費(fèi)用的和a_n的信息圖，可得每年的費(fèi)用是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的定義，易得答案．
（2）根據(jù)（1）中純收入與年數(shù)n的關(guān)系式，除以n后，即可得到年平均收入利用基本不等式，即可求出這種設(shè)備使用多少年時(shí)，該公司的年平均獲利最大．

解答：解：（1）由題意知，每年的費(fèi)用是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，并求得：a_n=a₁+2（n-1）=2n…（3分）
（2）設(shè)第n年后獲利為y萬(wàn)元，則

y=21n-Sn-25 =21n-[2n+ n(n-1) 2 •2]-25=20n-n2-25

，平均獲利為

y n = 21n-25-(2+4+…+2n) n = -n2+20n-25 n =-(n+ 25 n )+20≤-2 n• 25 n +20=10 當(dāng)且僅當(dāng)n=5時(shí)取等號(hào)．

所以這種設(shè)備使用5年，該公司的年平均獲利最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，數(shù)列的應(yīng)用，應(yīng)注意n∈N*這個(gè)受實(shí)際情況限制的條件，從而給出合理的取值．