Question

【題目】若f（x）=x2﹣x+b，且f（log2a）=b，log2f（a）=2（a＞0且a≠1），
（1）求a，b；
（2）求f（log2x）的最小值及相應 x的值；
（3）若f（log2x）＞f（1）且log2f（x）＜f（1），求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f （x）=x2﹣x+b，∴f （log2a）=（log2a）2﹣loga+b=b，

∴l(xiāng)og2a=1，∴a=2．

又∵log2f（a）=2，f（a）=4．∴a2﹣a+b=4，∴b=2．

（2）解：由（1）得f （x）=x2﹣x+2

∴f （log2x）=（log2x）2﹣log2x+2=（log2x﹣ ）2+ ，

∴當log2x= ，即x= 時，f （log2x）有最小值 ．

（3）解：由題意知： ，

解得 ，

∴ ，

∴0＜x＜1

【解析】（1）代入利用對數的運算性質即可得出．（2）利用二次函數與對數函數的單調性即可得出．（3）由題意知： ，利用一元二次不等式的解法、對數函數的單調性即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質和對數的運算性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減；①加法：②減法：③數乘：④⑤．