Question

若函數f（x）為定義在R上的奇函數，且x∈（0，+∞）時，f（x）=2^x
（1）求f（x）的表達式；
（2）若|f（m）|≤2恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）直接利用函數的奇偶性，求出求f（x）的表達式；
（2）通過|f（m）|≤2恒成立，通過分段函數化簡轉化不等式即可求m的取值范圍．

解答： 解：（1）當x∈（-∞，0）時，則-x∈（0，+∞）
所以f（-x）=2^-x=-f（x），f（x）=-2^-x
當x=0時，f（-0）=-f（0），所以f（0）=0
所以f(x)=

2x(x＞0) 0(x=0) -2-x(x＜0)

（2）由|f（m）|≤2，即-2≤f（m）≤2m＞0，
f（m）=2^m≤2，m≤1；  
m=0，f（m）=0；  
m＜0，f（m）=-2^-m≥-2，m≥-1
所以-1≤m≤1

點評：本題考查函數的恒成立，分段函數的應用，函數的解析式的求法，考查計算能力．