Question

若不等式sin⁴x-tsin²x-2＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A、（-1，+∞）
• B、[-1，+∞）
• C、（1，+∞）
• D、[1，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),不等式的解法及應(yīng)用

分析：令m=sin²x（0≤m≤1），則有不等式sin⁴x-tsin²x-2＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，即為m²-tm-2＜0對(duì)0≤m≤1恒成立，討論m=0，0＜m≤1時(shí)，運(yùn)用參數(shù)分離，得t＞m-

2

m

，運(yùn)用單調(diào)性，只要求出右邊的最大值即可．

解答：解：令m=sin²x（0≤m≤1），
則有不等式sin⁴x-tsin²x-2＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
即為m²-tm-2＜0對(duì)0≤m≤1恒成立，
當(dāng)m=0時(shí)，顯然成立；
當(dāng)0＜m≤1時(shí)，不等式即為t＞m-

2

m

，
由于m-

2

m

在（0，1]遞增，當(dāng)m=1時(shí)，取得最大值1-2=-1，
則t＞-1．
則有實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-1，+∞）．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的恒成立問(wèn)題，注意運(yùn)用換元法，考慮正弦函數(shù)的值域，考查函數(shù)的最值求法：運(yùn)用單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．