已知離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)過點M(
6
，1)，O為坐標原點
（1）求橢圓方程
（2）已知直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，若直線l是圓O：x2+y2=
8
3
的一條切線，求證：∠AOB=
π
2
．
分析：（1）由離心率可得a2=2b2，故橢圓的方程為
x2
2b2
+
y2
b2
=1，把點M的坐標代入可得b2的值，從而得到橢圓方程．
（2）當直線l的斜率不存在時，經(jīng)檢驗可得三角形AOB為等腰直角三角形，∠AOB=
π
2
．當斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+b，由切線的性質(zhì)可得3b2=8+8k2 ①，把直線l的方程代入橢圓的方程化簡利用根與系數(shù)的關系，計算OA和OB的斜率之積等于-1，從而得到∠AOB=
π
2
．
解答：解：（1）由題意可得
a2-b2
a2
=
1
2
，∴a2=2b2，故橢圓的方程為
x2
2b2
+
y2
b2
=1，把點M的坐標代入可得b2=4，a2=8，故橢圓方程為
x2
8
+
y2
4
=1．
（2）當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為 x=
2
6
3
，代入橢圓的方程可得A（
2
6
3
，-
2
6
3
 ），
B（
2
6
3
，
2
6
3
 ），顯然AOB為等腰直角三角形，∠AOB=
π
2
．
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為 y=kx+b，由切線的性質(zhì)可得
8
3
=
|0-0+b|
k2+1
，3b2=8+8k2 ①，
把直線l的方程代入橢圓的方程化簡可得 （1+2k2）x2+4kbx+2b2-8=0．
∴x1+x2=
-4kb
1+2k2
，x1x2=
2b2- 8
1+2k2
，故OA 和OB的斜率之積等于
kx1+ b
x1
•
kx2+b
x2
=
k2x1x2+ kb(x1+x2)+b2
x1x2
=
b2-8k2
2b2-8
，又由①得  8k2=3b2-8，
故OA 和OB的斜率之積等于
b2-(3b2-8)
2b2-8
=-1，∴OA⊥OB，∴∠AOB=
π
2
．
點評：本題考查求橢圓的標準方程，直線和橢圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，
證明OA 和OB的斜率之積等于-1，是解題的難點和關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點M（
6
，1），O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，若直線l是圓O：x2+y2=
8
3
的一條切線，試證明∠AOB=
π
2
．它的逆命題成立嗎？若成立，請給出證明；否則，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點M（
6
，1，O是坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點A、B為橢圓C上相異兩點，且
OA
⊥
OB
，判定直線AB與圓O：x2+y2=
8
3
的位置關系，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•德陽三模）已知離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點M(
6
，1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知與圓x2+y2=
8
3
相切的直線l與橢圓C相交于不同兩點A、B，O為坐標原點，求
OA
•
OB
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•宿州三模）已知離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F，上頂點為E，直線EF截圓x2+y2=1所得弦長為
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過D（-2，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，
AB
=2
AM
．試探究
|MD|
|MA|
的取值范圍．

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