Question

若不等式|x-1|+|x-3|≤a²+a解集非空，則實數a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：令f（x）=|x-1|+|x-3|可求得f（x）_min，依題意，a²+a≥f（x）_min，解之即可．

解答： 解：令f（x）=|x-1|+|x-3|，由絕對值的幾何意義：數軸上的點到1，3的結論之和，
可知函數f（x）的最小值為：2，
即f（x）_min=2．
∵不等式|x-3|+|x-1|≤a²+a的解集非空，
∴a²+a≥f（x）_min=2，
∴a²+a-2≥0．
解得：a≥1或a≤-2．
∴實數a的取值范圍是（-∞，-2]∪[1，+∞）．
故答案為：（-∞，-2]∪[1，+∞）．

點評：本題考查絕對值不等式，考查構造函數思想與方程思想，考查理解題意與推理運算的能力，屬于中檔題．