Question

如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：PB∥平面EAC；

(Ⅱ)求證：AE⊥平面PCD；

(Ⅲ)若AD＝AB，試求二面角A－PC－D的正切值；

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)連結(jié)交于，連結(jié)，則，且， 　　又平面，平面，∴PB∥平面EAC．　　　　4分; 　　(Ⅱ) 　　正三角形PAD中，E為PD的中點(diǎn)，所以，， 　　又，所以，AE⊥平面PCD．　　8分; 　　(Ⅲ)在PC上取點(diǎn)M使得． 　　由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD＝AB，所以 　　所以，在等腰直角三角形DPC中，， 　　連接，因?yàn)?I>AE⊥平面PCD，所以，． 　　所以，為二面角A－PC－D的平面角． 　　在中，． 　　即二面角A－PC－D的正切值為　　　　　　　　14分 　　證法二： 　　(Ⅰ)設(shè)N為AD中點(diǎn)，Q為BC中點(diǎn)，則因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0609/0017/1b9a175bd992acd12b203fa05a0c455e/C/Image104.gif" width=14 height=17>PAD是正三角形，底面ABCD是矩形，所以，，，又因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD，所以，，． 　　以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，NA、NQ、NP所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，，則，，，，，．∴， 　　，∴，又平面， 　　平面，∴PB∥平面EAC．　　　　　　　　　　　　　　4分; 　　(Ⅱ)，，， 　　， 　　所以，． 　　又，，所以，AE⊥平面PCD．　　　8分; 　　(Ⅲ)當(dāng)時，由(2)可知：是平面PDC的法向量； 　　設(shè)平面PAC的法向量為，則，，即 　　，取，可得：．所以，． 　　向量與所成角的余弦值為：． 　　所以，tanq ＝． 　　又由圖可知，二面角A－PC－D的平面角為銳角，所以，二面角A－PC－D的平面角就是向量與所成角的補(bǔ)角．其正切值等于．　　　　　14分