Question

甲．如圖1，平面VAD⊥平面ABCD，△VAD是等邊三角形，ABCD是矩形，AB：AD=：1，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)．
（1）求VC與平面ABCD所成的角；
（2）求二面角V-FC-B的度數(shù)；
（3）當(dāng)V到平面ABCD的距離是3時(shí)，求B到平面VFC的距離．
乙、如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是B₁B、AB、BC的中點(diǎn)．
（1）證明：D₁F⊥EG；
（2）證明：D₁F⊥平面AEG；
（3）求，．
注意：考生在（19甲）、（19乙）兩題中選一題作答，如果兩題都答，只以（19甲）計(jì)分．

Answer 1

【答案】分析：甲（1）取AD的中點(diǎn)G連接VG，CG，由等腰三角形三線合一及面面垂直的性質(zhì)可得VG⊥平面ABCD，即∠VCG為CV與平面ABCD所成的角，解Rt△GDC及Rt△VGC可得VC與平面ABCD所成的角；
（2）連接GF，解△GFC中可得GF⊥FC，連接VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，則∠VFG即為二面角V-FC-D的平面角，解Rt△VFG可得二面角V-FC-B的度數(shù)；
（3）設(shè)B到平面VFC的距離為h，當(dāng)V到平面ABCD的距離是3時(shí)，即VG=3．根據(jù)等體積法即V_V-FCB=V_B-VCF，可得B到面VCF的距離．
乙
（1）如圖2以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在的直線分別為x、y、z軸，求出D₁F與EG1的方向向量，根據(jù)向量的數(shù)量積為0，兩個(gè)向量垂直得到D₁F⊥EG．
（2）由向量，a，），根據(jù)．可得D₁F⊥AE．結(jié)合（1）的結(jié)論及線面垂直的判定定理可得D₁F⊥平面AEG．
（3）由，a，），=（a，a，-a），代入向量夾角公式可得，
解答：甲
解：（1）取AD的中點(diǎn)G（圖1），連接VG，CG．
∵△ADV為正三角形，∴VG⊥AD．
又平面VAD⊥平面ABCD．AD為交線，
∴VG⊥平面ABCD，
則∠VCG為CV與平面ABCD所成的角．
設(shè)AD=a，則，．
在Rt△GDC中，．
在Rt△VGC中，．
∴∠VCG=30°．
即VC與平面ABCD成30°．
（2）連接GF，則．
而 ．
在△GFC中，GC²=GF²+FC²．∴GF⊥FC．
連接VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，則∠VFG即為二面角V-FC-D的平面角．
在Rt△VFG中，．
∴∠VFG=45°． 二面角V-FC-B的度數(shù)為135°．
（3）設(shè)B到平面VFC的距離為h，當(dāng)V到平面ABCD的距離是3時(shí)，即VG=3．
此時(shí)，，，．
∴，．
∵V_V-FCB=V_B-VCF，
∴．
∴．
∴即B到面VCF的距離為．
乙
解：如圖2以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體AC₁棱長為a，則D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），D₁（0，0，a），E（a，a，），F(xiàn)（a，，0），G（，a，0）．
（1），，-a），，0，，
∵，
∴D₁F⊥EG．
（2），a，），
∴．
∴D₁F⊥AE．
∵EG∩AE=E，∴D₁F⊥平面AEG．
（3）由，a，），=（a，a，-a），
∴，=．
點(diǎn)評：題考查的知識點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，是立體幾何的一個(gè)綜合考查，難度稍大．