Question

棱長為2cm的正方體容器盛滿水，把半徑為1cm的銅球放入水中剛好被淹沒．然后再放入一個鐵球，使它淹沒水中，要使流出來的水量最多，這個鐵球的半徑應該為多大？

Answer 1

分析：先畫出過正方體對角面的截面圖，設小球的半徑r，通過AS=AO₁+O₁S建立等式，求出r即可求出要使流出來的水量最多時這個鐵球的半徑．

解答：解：過正方體對角面的截面圖如圖所示，設兩球的交點為S
AC₁=

3

，AO=

3

，AS=AO-OS=

3

-1，
設小球的半徑r，tan∠C₁AC=

2

2

．
在△AO₁D中，AO₁=

3

r，
∴AS=AO₁+O₁S，
∴

3

-1=

3

r+r．
解得：r=2-

3

（cm）為所求．
要使流出來的水量最多，這個鐵球的半徑應該為2-

3

．

點評：本題考查球與多面體相切問題，解決此類問題必須做出正確的截面（即截面一定要過球心），再運用幾何知識解出所求量．