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(1)證明:函數y=x3+x是R上的增函數;
(2)討論函數f(x)=
a+x
x
(a>0)在定義域上的單調性并證明.
考點:函數單調性的判斷與證明
專題:函數的性質及應用
分析:(1)通過求導得出導函數大于0,從而判斷函數的單調性;
(2)先求出函數的定義域,設x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,通過討論自變量所在的區(qū)間,從而判斷函數的單調性.
解答: 證明:(1)∵y′=3x2+1>0,
∴函數y=x3+x是R上的增函數;
(2)f(x)=
a+x
x
=
a
x
+
x
,x∈(0,+∞)
,
設x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
f(x1)-f(x2)=(
a
x1
+
x1
)-(
a
x2
+
x2
)

=
a
x1
-
a
x2
+
x1
-
x2

=(
x2
-
x1
)(
a
x1x2
-1)
,
∵0<x1<x2,∴
x2
x1
,
x1x2∈(0,
a
)
時,
a
x1x2
>1

x2
-
x1
>0,
a
x1x2
-1>0

得f(x1)>f(x2),
x1,x2∈(
a
,+∞)
時,
a
x1x2
<1
,
x2
-
x1
>0,
a
x1x2
-1<0
,
得f(x1)<f(x2),
綜上所述:f(x)在(0,
a
]
上為減函數,在(
a
,+∞)
上為增函數.
點評:本題考查了函數的單調性的判斷及證明問題,是一道基礎題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

參數方程為
x=-1+
3
t
y=2-t
(t為參數)的直線的傾斜角( �。�
A、
π
3
B、
π
6
C、
3
D、
6

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科目:高中數學 來源: 題型:

某地區(qū)2007年至2013年農村居民家庭純收入y (單位:千元)的數據如下表:
年份2007200820092010201120122013
年份代號t1234567
人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9
(Ⅰ)求y關于t的線性回歸方程;(已知b=0.5)
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入的變化情況,并預測該地區(qū)2015年農村居民家庭人均純收入.

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科目:高中數學 來源: 題型:

函數f(x)=ax2+x-1+3a(a∈R)在區(qū)間[-1,1]上有零點,求實數a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

從20名學生中隨機抽取一名,若抽中女生的概率是
2
5
,則這20名學生中有女生
 
名.

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科目:高中數學 來源: 題型:

若a,b∈R,則下列命題正確的是( �。�
A、若a>b,則a2>b2
B、若a>b,則
1
a
1
b
C、若a>|b|,則a2>b2
D、若ac>bc,則a>b

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科目:高中數學 來源: 題型:

下列四個方程中表示y是x的函數的是( �。�
①x-2y=6②x2+y=1③x+y2=1④x=
y
A、①②B、①④C、③④D、①②④

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科目:高中數學 來源: 題型:

關于函數f(x)=4sin(2x+
π
3
),(x∈R)有下列命題:
①y=f(x)是以2π為最小正周期的周期函數; 
②y=f(x)可改寫為y=4cos(2x-
π
6
);
③y=f(x)的圖象關于點(-
π
6
,0)對稱;   
④y=f(x)的圖象關于直線x=-
12
對稱;
⑤y=|f(x)|是以π為最小正周期的周期函數.
其中正確的序號為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

設f(x)=
x+3(x≥10)
f(f(x+5))(x≤10)
,則f(5)的值是( �。�
A、24B、21C、18D、16

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