Question

設(shè)正整數(shù)數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a2＝4，且對(duì)于任何n∈N*，有． (1) 求a1，a3； (2) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解：據(jù)條件得① 當(dāng)時(shí)，由，即有， 解得．因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0678/0022/8e73314b5924090a5e2397eb07afc350/C/Image251.gif" width=16 HEIGHT=24>為正整數(shù)，故． 當(dāng)時(shí)，由， 解得，所以．

(2)

方法一：由，，，猜想：． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． 1當(dāng)，時(shí)，由(1)知均成立； 2假設(shè)成立，則，則時(shí) 由①得 因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0678/0022/8e73314b5924090a5e2397eb07afc350/C/Image276.gif" width=41 height=18>時(shí)，，所以． ，所以． 又，所以． 故，即時(shí)，成立． 由1，2知，對(duì)任意，． 　　方法二： 由，，，猜想：． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． 1當(dāng)，時(shí)，由(1)知均成立； 2假設(shè)成立，則，則時(shí) 由①得 即　　　　　�、� 由②左式，得，即，因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)， 則．于是　　　�、� 又由②右式，． 則． 因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)，則， 所以． 又因時(shí)，為正整數(shù)，則　　　�、� 據(jù)③④，即時(shí)，成立． 由1，2知，對(duì)任意，．