【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,
恒成立,求
的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(1) 求出函數(shù)的導數(shù),通過討論 的范圍,
得增區(qū)間,
得減區(qū)間; (2)問題轉(zhuǎn)化為
,討論
的范圍,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出
的最小值即可求出
的范圍.
試題解析:(1).
(i)當時,
,函數(shù)
在
上單調(diào)遞增;
(ii)當時,令
,則
,
當,即
,函數(shù)
單調(diào)遞增;
當,即
時,函數(shù)
單調(diào)遞減.
綜上,當時,函數(shù)
在
上單調(diào)遞增;當
時,函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間是
,單調(diào)遞減區(qū)間是
.
(2)令,由(1)可知,函數(shù)
的最小值為
,所以
,即
.
恒成立與
恒成立等價,
令,即
,則
.
①當時,
.(或令
,則
在
上遞增,∴
,∴
在
上遞增,∴
.
∴).
∴在區(qū)間
上單調(diào)遞增,
∴,
∴恒成立.
②當時,令
,則
,
當時,
,函數(shù)
單調(diào)遞增.
又,
,
∴存在,使得
,故當
時,
,即
,故函數(shù)
在
上單調(diào)遞減;當
時,
,即
,故函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,
∴,
即,
不恒成立,
綜上所述, 的取值范圍是
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)求函數(shù)在點
點處的切線方程;
(2)當時,求函數(shù)
的極值點和極值;
(3)當時,
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在遂寧市中央商務區(qū)的街道,有一中年人吆喝“送錢”,只見他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黃色、2只白色的乒乓球(其體積,質(zhì)地完全相同),旁邊立著一塊小黑板寫道:
摸球方法:從袋中隨機摸出3個球,若摸得統(tǒng)一顏色的3個球,攤主送個摸球者10元錢;若摸得非同一顏色的3個球。摸球者付給攤主2元錢。
(1)摸出的3個球中至少有1個白球的概率是多少?
(2)假定一天中有100人次摸獎,試從概率的角度估算一下這個攤主一個月(按30天計)能賺多少錢?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線l經(jīng)過點,則
(1)若直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點,且△OAB的面積為4,求直線l的方程;
(2)若直線l與原點距離為2,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為
,滿足
,且
,公比大于1的等比數(shù)列
滿足
,
.
(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列,并求其通項公式;
(2)若,求數(shù)列
的前n項和
;
(3)在(2)的條件下,若對一切正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足,
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求證:數(shù)列{an}中的任意三項不可能成等差數(shù)列;
(3)設(shè),Tn為{bn}的前n項和,求證
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層,某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元,該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.
(1)求k的值及f(x)的表達式;
(2)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小,并求最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域為[-1,5],部分對應值如下表,
的導函數(shù)
的圖象如圖所示,下列關(guān)于
的命題:
-1 | 0 | 4 | 5 | |
1 | 2 | 2 | 1 |
①函數(shù)的極大值點為0,4;
②函數(shù)在[0,2]上是減函數(shù);
③如果當時,
的最大值是2,那么
的最大值為4;
④當時,函數(shù)
有4個零點.
其中正確命題的序號是__________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
.
(1)若和
在區(qū)間
上具有相同的單調(diào)性,求實數(shù)
的取值范圍;
(2)若,且函數(shù)
的最小值為
,求
的最小值.
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