已知函數(shù)其中為參數(shù)，且

（I）當時，判斷函數(shù)是否有極值；

（II）要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；

（III）若對（II）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。

（I）解：當時，則在內(nèi)是增函數(shù)，故無極值。

（II）解：令得

             

       由及（I），只需考慮的情況。

       當變化時，的符號及的變化情況如下表：

0

＋

0

－

0

＋

極大值

極小值

       因此，函數(shù)在處取得極小值 且

              。

       要使必有可得所以

             

（III）解：由（II）知，函數(shù)在區(qū)間與內(nèi)都是增函數(shù)。

       由題設(shè)，函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，則須滿足不等式組

              　　　或       

       由（II），參數(shù)時，要使不等式關(guān)于參數(shù)恒成立，必有

       綜上，解得或所以的取值范圍是

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：荊門市2008屆高三第一輪復(fù)習三角函數(shù)單元測試卷 題型：044

已知函數(shù)其中x∈R，為參數(shù)，且

(1)當cos＝0時，判斷函數(shù)f(x)是否有極值；

(2)要使函數(shù)f(x)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；

(3)若對(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2a－1，a)內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（06年天津卷文）（12分）

已知函數(shù)其中為參數(shù)，且

       （I）當時，判斷函數(shù)是否有極值；

       （II）要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；

       （III）若對（II）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（06年天津卷理）（12分）

已知函數(shù)其中為參數(shù)，且

       （I）當時，判斷函數(shù)是否有極值；

       （II）要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；

       （III）若對（II）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年四川省成都市模擬考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)其中為自然對數(shù)的底數(shù)， .(Ⅰ)設(shè)，求函數(shù)的最值；（Ⅱ）若對于任意的，都有成立，求的取值范圍.

【解析】第一問中，當時，，．結(jié)合表格和導(dǎo)數(shù)的知識判定單調(diào)性和極值，進而得到最值。

第二問中，∵，，      

∴原不等式等價于：,

即, 亦即

分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍

解：（Ⅰ)當時，，．

當在上變化時，，的變化情況如下表：

 

－

＋

 

1／e

∴時，，．

(Ⅱ)∵，，      

∴原不等式等價于：,

即, 亦即．

∴對于任意的，原不等式恒成立,等價于對恒成立,

∵對于任意的時, （當且僅當時取等號）．

∴只需，即，解之得或.

因此，的取值范圍是

 

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