Question

（本題滿分12分）設、分別是橢圓的左、右焦點．

（1）若是該橢圓上的一個動點，求的取值范圍;

（2）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，且∠為銳角（其中 為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍．

（3）設是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于兩點．求四邊形面積的最大值

Answer 1

（1），（2）或（3）．

【解析】

試題分析：與圓錐曲線相關的最值、范圍問題綜合性較強，解決的思路有兩種：一是由題目中的限制條件求范圍，如直線與圓錐曲線的位置關系中Δ的范圍，方程中變量的范圍，角度的大小等；二是將要討論的幾何量如長度、面積、代數(shù)式等用參數(shù)表示出來，再對表達式進行討論，應用不等式、三角函數(shù)等知識求最值，在解題過程中注意向量，不等式的應用．

試題解析：易知

所以，設，則

故． 2分

（2）顯然直線不滿足題設條件，可設直線，

聯(lián)立，消去，整理得： 3分

∴

由得： 5分

又0°<∠MON<90°cos∠MON>0>0 ∴

又

∵，即 ∴

故由①、②得或 7分

（3）解法一：根據(jù)點到直線的距離公式和①式知，點到的距離分別為，

． 9分

又，所以四邊形的面積為

=， 11分

當，即當時，上式取等號．所以的最大值為． 12分

解法二：由題設，，．

設，，由①得，， 9分

故四邊形的面積為

， 11分

當時，上式取等號．所以的最大值為． 12分

考點：圓錐曲線相關的最值、范圍問題綜合．