Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在x軸上，有一個頂點為A（-4，0），橢圓兩準(zhǔn)線間的距離為16．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）過點B（-1，0）作直線l與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，線段EF的中點為M，求直線MA的斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓的一個頂點可求a，結(jié)合兩準(zhǔn)線間的距離為16求得c，則b可求，橢圓方程可求；
（Ⅱ）分直線l的斜率存在（不等于0）和不存在討論，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，
把MA的斜率用直線l的斜率表示，由基本不等式求得范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓有一個頂點為A（-4，0），故長半軸長a=4，
又橢圓兩準(zhǔn)線間的距離為

2a2

c

=16，
從而得：a=4，c=2，b²=12，
∴橢圓E的方程

x2

16

+

y2

12

=1；
（Ⅱ）依題意，直線l過點B（-1，0）且斜率不為零．
（1）當(dāng)直線l與x軸垂直時，M點的坐標(biāo)為B（-1，0），此時，k=0；
（2）當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時，設(shè)直線l方程為y=m（x+1），（m≠0），
聯(lián)立方程組

y=m(x+1) x2 16 + y2 12 =1

，消去y并整理得（4m²+3）x²+8m²x+4m²-48=0，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），M（x₀，y₀），又有A（-4，0），則
∴x1+x2=-

8m2

4m2+3

，
∴x0=

x1+x2

2

=-

4m2

4m2+3

，y0=m(x0+1)=

3m

4m2+3

，
∴k=kAM=

y0

x0+4

=

m

4(m2+1)

=

1

4(m+ 1 m )

(m≠0)，
∵|m+

1

m

|=|m|+|

1

m

≥2，∴0＜|k|≤

1

8

．
∴-

1

8

≤k≤

1

8

且k≠0．
綜合（1）、（2）可知直線MA的斜率k的取值范圍是：-

1

8

≤k≤

1

8

．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線間的關(guān)系，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．