Question

各面均為等邊三角形的四面體S-ABC中，E，F(xiàn)分別為AB與SC的中點(diǎn)，則EF與AC所成角的正弦值為

2

2

．

Answer 1

分析：通過(guò)平移將兩條異面直線，將AC平移到△SAC的中位線GE，得到∠GEF（或其補(bǔ)角）就是異面直線所成的角，再根據(jù)正四面體的性質(zhì)，計(jì)算得出△FEG是以EF為斜邊的等腰直角三角形，由此可得答案．

解答：解：如圖，取SA的中點(diǎn)G，連接GE、GF、AE、BE，
∵GF是△SAC的中位線，
∴GE∥AC，
可得∠GEF（或其補(bǔ)角）是異面直線EF與AC所成的角，
設(shè)四面體S-ABC棱長(zhǎng)為2，則GE=1且GF=1，
∵正△SAC與正△SBC中，中線AE=BE=

3

2

SC=

3

∴EF是等腰△ABE底邊上的中線，可得EF⊥AB
得到EF=

AE2-AF2

=

2

∴△FEG是等腰直角三角形，可得∠GEF=45°，
即EF與AC所成角的正弦值為

2

2

故答案為：

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出正四面體相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，求它與其異面的棱所成角正弦值，著重考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．